导语：用柚子做数学，寥寥几笔教会你球面几何，看几何名师的绝妙教法！
关键词：柚子；二角形；球面几何
本学期我教授拓扑几何学课程，其中一个主题是球面几何学。球面几何学中有一个有趣的性质，在一个给定的球面上，知道了三角形三个角的大小，就可以确定这个三角形的边长和面积。（如果你发现这条性质实在令人困惑，不仅是你，十八世纪的瑞典数学家Johann Lambert也弄不明白。）
我们为了计算出由其角确定的球面三角形的面积，用一些柚子和发饰做了一个小实验。我用柚子是因为柚子足够大，可以清楚地看到所发生的变化。而且它们不光滑的表面使发饰更容易固定在它们上面，但我们用其他的球面状物体也是可以的。同样的，发饰也可以用一个结实的、大一些的宽橡皮筋来替代。
我的学生大部分是数学专业大三的学生，但是我认为不同年龄段、不同数学水平的学生都可以参与这个实验。让我来告诉你怎么做!
需要准备的材料(每个人)：
1个西柚
3个结实的橡皮筋或头饰
1支或多支马克笔
活动说明：
1、在柚子上画三个点。为了方便起见，其中一个点画在柚子柄部。
2、把一条橡皮筋通过柚子柄部和另外一个点扎在柚子上，尽可能将柚子平均分成两半。你可以把柚子想象成一个地球，柚子的柄就是地球的北极点。橡皮筋就像地球的一条经线，所以橡皮筋要通过柚子柄部和另外两个点中的一个点，还有南极点。
3、将第二条橡皮筋通过柚子柄部和第三点扎在柚子上，尽可能使柚子均分成两部分。
扎第三条橡皮筋前，让我们停下来思考一下这个图形。这个图形叫做二角形。我在顶部的角上标上角α，因为数学家喜欢用希腊字母表示角。
这两个橡皮筋在柚子的南极点相交了。它们相交所成的这个角和在顶部相交所成的角是相等的，我也用同样的记号标记了。
后面我们需要知道二角形的面积，所以我们现在要把它算出来。不难发现，二角形的面积应该是与所成的α角成比例的。球体的表面积是4πr2 。如果α角是一个π弧度或者一个180度的角，我们要算的二角形将会是半球，它的面积是2πr2 。如果α角是π/2弧度或者90度的角，二角形面积将是半球的四分之一，所以这样的二角形面积是πr2 。以此类推，我们可以得到二角形面积是2αr2 ，其中的α角用弧度角来表示。
现在我们将加入三角形的第三边。
4、将第三条橡皮筋扎在柚子上，使其通过之前没有用橡皮筋连接的两个点，依旧尽可能将柚子均分成两部分。
我的柚子不是一个完美的球体，所以分成的两半大小不同。选择的水果越接近于球形，你将越容易将它分成对称的两半。
我将另外两个角用β和δ符号标出来（因为γ看起来太像α了）。
我们可以观察到在柚子的另一面有一个和正面同样角度的三角形。
现在我们已经有了所有计算面积所需要的元素了。你可以先停下，自己思考一下怎么计算。如果你不知道如何进行下去了，那么请继续阅读。
其实都是关于二角形的问题。当我们把三条橡皮筋扎在三角形上，我们做出了角度都为α的两个二角形，角度都为β的两个二角形，还有角度都为δ的两个二角形。（我们也做出α，β，δ角都是π弧度的二角形，但是我们不需要关注它们。）通过设计，在α-β-δ三角形上我们所关注的每一个点分别在角度为α、β、δ的二角形上，柚子底部相对应的三角形上的三个顶点也是同样的情形。而球面上的其它点则只在其中一个二角形上。当我们计算这些二角形的总面积时，我们需要将在这些三角形上的每个顶点计算三次，而不是一次。
我们可以将观察到的关系用一个代数方程式表示出来。我们设三角形的面积为T。记着我们早先得到的公式：角度为α的二角形的面积是2αr2 ，球体的面积是4πr2 。我们得到方程：
4πr2=4αr2+4βr2+4δr2-4T
将此方程变形，我们可以得出 T=(α+β+δ-π)r2 。
需要思考的问题：
1、你知道二角形的面积为什么可以以此类推吗？你能想到一种方法去说服那些对此持怀疑态度的朋友吗？
2、为什么球面上非三角形区域里的点只在其中一个二角形上？换句话说，为什么球面上的点要么只在一个二角形中，要么就在三个二角形交叉所成的三角形中？
3、当球面三角形面积变小，它的每个角度数会变小，同时内角和也会接近欧几里得几何学中三角形的内角和180度。作为一个巨大的球体上的居民，这些规律与你的日常生活有什么联系呢？
作者简介：Evelyn Lamb是犹他大学的一位博士后。她经常写一些关于数学和其他有意思的东西的文章。你可以在推特上关注她@evelynjlamb。
（翻译：王凯山；审校：李昱）
原文链接[科学美国人博客]：
http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/grapefruit-math/
留言