在有趣数学例子的世界里，有时候似乎可以说：条条大路都通向康托尔集。或者这更像是条条大路都始于康托尔集。我现在要发表的第一篇“最爱的空间”帖子就是关于康托尔集的，我写它是因为我想解释一个基于康托尔集的函数，我似乎正在往一篇文章中填充过多的内容。我们最近的一集“我最喜欢的定理”以一种重要的方式展现了康托尔集和其相关的空间，康托尔尘埃（Cantor dust）。这感觉就像不论我转向哪个街口，都会在转角遇到康托尔集。
但是，在这里提到康托尔集让我觉得有点奇怪，因为把我现在所写的空间称为康托尔集才是更有意义的。标准的三分构造法只是思考具有三种特定数学属性的空间的一种方式。具有这些属性的任何空间都可以称为康托尔集，从某种意义上说，三分构造法没有什么特别之处。这只是一个来到具有一些特殊属性空间的便利方式。
以下是规则。
首先，空间必须被完全断开，这意味着没有两个点位于空间的同一“块”中。像圆圈这样的空间是连接的，因为所有点都在同一块中。看起来像两个相互连接的圆圈的空间是断开的，但每个圆圈都形成一个单独的连接。然而，对于三分康托尔集，任何两个点彼此之间具有一定的有限距离，并且这个构造保证在集合中不存在该距离长度的段。
其次，空间必须是紧凑的，目前这意味着它被完全包含在一定的有限半径内，并且包含集合中接近某个极限的所有点，可被适当称为极限点。一个经典的不紧凑例子是区间（0,1），它包含所有大于0且小于1的点，因为你可以想象一系列接近0和1的极限的点，但这些点不包含在集合中。另一方面，包含端点0和1的区间[0,1]是紧凑的。
第三个条件某种程度上是第二个条件的反面。在紧凑的空间中，每个极限点必是空间的一部分。在这里，空间中的每个点都必是一个极限点。另一种看法是，没有任何点远离集合中的其他所有点。每个点附近都有邻居。拥有这个属性的集合被称为完美集。
所有完全断开、紧凑、完美的集合都是康托尔集，无论它们是否由三分法构造，并且所有康托尔集都是同胚的，这意味着有方法可以将其中一个空间连续地压入另一个空间，再反向进行。
在对安东尼项链做出任何真实描述前，我写了这个相当长的前篇，因为它是一个不能像三分构造一样立刻被识别出来的康托尔集，而我这里不想再耗在试图深入三分构造上面了。安东尼的项链实际上是一个康托尔集，也许我应该说安东尼的项链是一组康托尔集，因为我们可以构造无数项链，所有项链都在某些方面有相似之处，而在另外一些方面有所区别。法国数学家路易斯.安东尼（Louis Antoine）在1921年的一篇论文中首次描述了这种结构，但我在写这篇文章时查阅了Beverly Brechner和John Mayer的《大学数学期刊》（College Mathematics Journal article）文章。
我们可以分阶段制作安东尼的项链。我们从一个整体的圆环开始，一个三维空间里的甜甜圈形状。这是安东尼项链的零级。
现在我们用一个完全位于第一个圆环内的一个较小的圆环链替换圆环，以获得一级结构。多少小圆环？随你！ Blacklemon67，一位将安东尼项链的图片上传到维基共享资源（Wikimedia Commons）里的慷慨人物，选择了18，所以让我们继续使用18吧。
现在我们用另一个较小的圆环链替换链中的每个圆环，这次仍然是18个。
你可能察觉到了一个规律。在每个阶段，我们都用一串较小的圆环替换每个圆环，并且将永远这样做下去。
为了验证安东尼的项链是康托尔集，我们必须检查它是否满足上述三个条件。我不想通过深入细节来破坏你的乐趣，但你可以查看Brechner和Mayer的文章以获取更多信息。
安东尼的项链说明了空间在数学中等价的一个微妙的事实。同胚是等价的一个版本。所有康托尔集都是同胚的，这意味着有一种方法可以将我们安东尼项链中的一个点以连续的方式映射康托尔集里的点，这样该函数反向版本，或反面，即从康托尔集到安东尼项链的映射，也是连续的。
但是我们可以要求另一个更强大的等价定义。我们可以要求这个从一个数学对象映射到另一个数学对象、且具有连续反面的连续函数，也是这两个对象周围环境空间的同胚，这本质上意味着它不仅适用于数学对象，而是整个宇宙。这被称为环境同胚。在康托尔集和安东尼项链的情况下，我们不能这样做。这不仅仅是因为我们通常认为康托尔集是二维的，而安东尼项链则是三维。我们也可以坚持把三分康托尔集放到三维中，但仍然会遇到问题。事实上，如果我们在构造的每个层面都选择了18以外的数字，那么我们获得的安东尼项链在这种严格的定义下也不会等价。在特定步骤中，我们对包含的圆环数量可进行的选择之集合都生成一条新的项链。通过观察它们周围发生的事，我们可以看到这些空间没有这种更有力的环境同胚。
研究空间属性的一个重要方法是查看空间中的环如何表现。你可以想象在三分康托尔集之外绘制一个环（在三维空间中）并说服自己可以通过滑动它来将其从空间中解放。康托尔集无法阻挡环。但是用安东尼项链就更难想象了。只是因为它更难以想象并不意味着我们不能这样做，但在这种情况下，这是真的。从安东尼项链周围空间中的一个环开始，在第一步中它穿过实心圆环的中心，就好像你将项链串在另一条项链上。我们永远无法彻底将环从安东尼项链中解下来。正如Brechner和Mayer所说，安东尼项链就像真正的项链一样是由细小的珠子组成的，这些珠子没有被任何绳子串在一起，但也不会散开。
我非常喜欢安东尼项链，因为在某些方面而言它是小孩的游戏。我记得当我还是个小孩的时候，我很喜欢用环制作环。但是你可以让小孩的游戏引导你发现一些微妙、深刻的数学。
感谢北卡罗来纳大学艾塞维利亚分校数学教授Mark McClure向我介绍了安东尼项链，并推荐了我觉得很有帮助的Brechner和Mayer的文章。他的网站有一个你可以拖动来玩的安东尼项链模型，和许多其他有趣的数学玩具，包括我在Douady rabbit的文章中提到的Julia set explorer。
作者：Evelyn Lamb
翻译：马一瑗
审校：施怿
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