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《科学24小时》

开博时间:2016-07-01 14:43:00

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迄今最大的梅森素数

2018-02-27 16:45:00

  2300多年来,人类仅发现49个梅森素数。2016年1月7日,美国数学家库珀发现第49个梅森素数,即2的74207281次方减1。这个超大素数有22338618位,是目前已知的最大素数。如果用普通字号将它连续打印下来,它的长度可超过65千米!

  这种素数珍奇而迷人,因此被人们誉为“数海明珠”。自梅森提出其断言后,人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数,因此寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程。

  梅森素数是一种特殊的素数。

  它是数论研究的一项重要内容,也是当今科学研究的热点与难点之一。

  自从在一个名为“互联网梅森素数大搜索”(简称GIMPS)项目的帮助下,梅森素数的探究取得了重大进展。其实,在探寻梅森素数上,美国数学教授多次走在世界前列。发现已知的最大梅森素数,是彰显该国数学实力强盛的一个侧面标志。

  目前,世界上有180多个国家和地区近27万人,参加了GIMPS的国际合作项目,并动用超过70万台计算机联网来寻找梅森素数。因此,仅从人力、物力方面来说,梅森素数已足够火爆。美国天体物理学家、“邓普顿奖”得主斯坦利·杰基认为,梅森是17世纪早期学术成果优劣的最佳鉴定者。近几年来,梅森素数又频频出现在主流新闻媒体和学术刊物中。

  梅森素数的神秘诞生

  1588 年 9 月 8 日,梅森(1588-1648)出生在法国曼恩省瓦兹的一个工人家庭。他16岁时进入耶稣会办的学校学习,1609年从巴黎的索邦神学院毕业后任神职人员,1619年进入拉农西亚德女修道院教授神学和哲学。梅森具有很高的科学素养,其研究涉及声学、光学、力学、航海学和数学等多个学科,并有“声学之父”的美称。

  梅森是17世纪欧洲数学界一位独特的中心人物,许多数学家都乐于将成果寄给梅森,然后凭借他广泛的人际关系和热情诚挚的为人,在更多的人中传播。梅森起到了科学交流的桥梁作用,被誉为“有定期数学杂志之前的数学交换站”。

  1640年6月,法国数学家费马在给梅森的一封信中写道:“在艰深的数论研究中,我发现了三个非常重要的性质。我自信它们将成为今后解决素数问题的基础。”这封信讨论了2n-1的数。数2n-1最早出现在欧几里得《几何原本》(公元前300年左右)第九章命题6中。梅森以此作为基础,花4年时间研究、检验了直至的全部数,并于1644年在他的《物理数学随感》一书中写道:“总结前人的工作和我个人的研究,可以得到结论:在n小于或等于257的数中,仅当n=2、3、5、7、13、17、19时,2n-1是素数外,并猜想n=31、67、127和257时,2n-1是素数;对于n<257的其它数值,2n-1都是合数。”

  梅森提出的大胆猜想,大大缩短了寻觅最大素数的验证范围。梅森素数的验证工作是十分艰辛与巨大的,n=31、67、127和257这几个数比较庞大,其中最小的231-1=214748367也是近20多亿的大数。

  正如梅森所推测:“一个人使用一般的验证方法,要检验一个15位或20位的数字是否为素数,即使花费终生的时间也是不够的!”

  为了纪念他,在1897年瑞士苏黎世举行的首届国际数学家大会(ICM)上将“2p-1”型的素数称为“梅森素数”,并以Mp记之(其中为梅森姓氏的首字母);如Mp果为素数,则称之为“梅森素数”。素数又称“质数”,是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数(如2、3、5、7、11等)。2300年前,古希腊数学家欧几里得就已证明素数有无穷多个。

  梅森素数是指形如2p-1的正整数,其中指数P是素数,常记为Mp。这种特殊形式的素数,具有独特的性质和无穷的魅力,千百年来一直吸引着包括数学大师费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代和图灵在内的众多数学家。

  梅森曾于1644年断言:“267-1是个素数。”梅森去世后,人们对其断言深信不疑,连德国大数学家莱布尼兹和哥德巴赫都认为它是对的。也许这是因为梅森的名气太大了,没有人敢对其断言表示怀疑。

  不过,1930年在美国数学协会的年会上,数学家科尔作了一次精彩的“演讲”,他提交的论文题目是“关于大数的因子分解”。在“演讲”过程中,他始终一言不发,只默默地在黑板上进行计算。他先算出267-1的结果,再算出 193707721×761838257287的结果,两个结果完全一样。科尔是第一个否定了“267-1是个素数”这一自梅森断言以来一直被人们相信的结论的人。他的“演讲”赢得了全场听众起立鼓掌和齐声喝彩。这个一言不发的演讲成了科学史上的佳话。会后,人们问科尔:“你花费了多少时间来研究这个问题?”他静静地说:“3年里的全部星期天。”后来,他当选为美国数学协会的会长。他去世后,该协会专门设立了“科尔奖”,用于奖励作出杰出贡献的数学家。

  科尔的这场无言演讲,为人们探索梅森素数提供了有力的精神支持。科尔证明了M67是一个合数,从而否定了梅森说M67是素数的猜想,解放了数学家的思想,并掀起了研究梅森素数的热潮。

  梅森素数的搜寻历程

  在“笔算纸录”的年代,人们历尽艰辛才找到12个梅森素数。而计算机的诞生加速了人们探究梅森素数的进程。1946年,世界上第一台计算机诞生了, 寻觅梅森素数即最大素数的数学家才从“手工作坊”里解放出来。

  计算机的诞生和网格技术的出现,加速了梅森素数探究的进程。1952年,数学家鲁滨逊等人将鲁卡斯-雷默方法编译成计算机程序,使用SWAC型计算机,在几个月内就找到了5个梅森素数:M521、M607、M1279、M2203和M2281。

  此后,数学家们利用各种最新计算机产品,在巨大的天文数字运算中,继续寻觅梅森素数。1983年10月到1985年10月的2年时间里,数学家史诺云斯基用最快的计算机又求得 3 个梅森素数:M86243、M132091 和M216091。1991年,有数学家又发现史诺云斯基漏掉的梅森素数 M110503。1992年3月,英国数学家宣布,在一台巨型计算机Cray-2上又发现一个梅森素数M796839,它有227832位数字,是当时已经发现的最大一个素数。若把这些数字印成书,可达180页左右,不过这将是一本十分枯燥的书。截至 1992 年,从 1644 年起的348年中,数学家共找到32个梅森素数,平均每10年发现一个,其中在40年间利用计算机找到的有20个,与手工耗时308年才找到12个比,计算机是多么神速!

  1996年初,美国数学家、程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数计算程序,并把它放在网页上供全球数学家和业余数学爱好者免费使用,这就是举世闻名的GIMPS项目。

  1999年,为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展,总部设在美国的电子新领域基金会(EFF),设立了专项奖金悬赏参与GIMPS项目的梅森素数发现者。它规定向第一个找到超过100万位数的个人或机构颁发5万美元。后面的奖金依次为:找到超过1000万位数的颁发10万美元;找到超过1亿位数的颁发15万美元;找到超过10亿位数的颁发25万美元。不过,绝大多数人参与该项目并不是为了金钱,而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。

  2000年4月6日,住在美国密歇根州普利茅茨的那扬·哈吉拉特瓦拉得到了一笔5万美元的数学奖金,因为他找到了当时已知的最大素数:26972593-1。可是,哈吉拉特瓦拉先生并不是一个数学家,他甚至很可能对寻找梅森素数的数学理论都一无所知。他所做的一切,就是从互联网上下载了一个程序。这个程序在他的这台奔腾II350型计算机的空置时间悄悄地运行。在经过111天的计算后,这个梅森素数被发现了。2008年8月,美国加州大学洛杉矶分校的计算机专家史密斯发现了第46个,即243112609-1,它有12978189位数。如果用普通字号将这个巨数连续写下来,它的长度超过50千米!这一成就被美国的《时代周刊》评为“2008年度 50 项最佳发明”的第 29 位。2009年6月15日,第47个梅森素数被发现了,该素数为“2的42643801次方减1”。这是一个巨大的数字,共有12837064位数。假设我们每一秒钟写一个数字的话,要连续写近150个昼夜才能写完。

  梅森素数的远景展望

  人们为什么要寻找梅森素数?作为人类智慧的结晶,梅森素数的定义简单,却又如此神秘莫测。2000多年来,经过无数代人的辛勤工作,才收集到49个梅森素数。对于数学家来说,收集梅森素数和收藏家收集钻石一样富有乐趣。理论上的突破, 会带来实践的腾飞,解决梅森素数猜想的过程中,可能诞生新学科、新数学思想方法;同时, 验证梅森素数的工作,标志着一个国家计算机的发展程度和功能的先进性。

  数论问题中有许多关于素数的问题,在吸引人们去探索的同时,又在磨砺着人类的智慧。寻找梅森素数,推动了“数学皇后”——数论的研究,促进了计算技术、密码技术、网格技术和程序设计技术的发展。由于梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持,因而许多科学家认为,梅森素数的研究成果,在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国顶尖科学家马科斯·索托伊甚至认为,梅森素数的研究进展,标志着科学发展的里程碑。

  我国数学家、语言学家周海中是这方面研究的领先者,他运用联系观察法和不完全归纳法,于1992年2月首次给出了梅森素数分布的精确表达式,为人们寻找这一素数提供了方便。后来,这一重要成果被国际上命名为“周氏猜测”。国际著名科普杂志《科学美国人(中文版)》2000年第6期刊登的一篇评论文章指出,“周氏猜测”是梅森素数研究中的一项重大突破。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格认为:“‘周氏猜测’具有创新性,开创了富于启发性的新方法,其创新性还表现在揭示新的规律上。”

  截至2016年9月,人们已经发现了 49 个梅森素数,其中通过GIMPS项目找到的有15个,发现者来自美国、英国、法国、德国、加拿大和挪威。目前,世界上有180多个国家和地区的超过27万人参加了这一国际合作项目,并动用了68万多台计算机联网来寻找新的梅森素数。这68万台联网计算机的计算能力已超过当今世界最先进的超级矢量计算机的计算能力,运算速度达到每秒800万亿次。国际顶级杂志《自然》指出,GIMPS项目不仅会进一步激发人们寻找梅森素数的热情,而且会引起人们对网格技术应用研究的高度重视。

  国际著名数学家希尔伯特有一句名言:“我们必须知道,我们必将知道。”寻找梅森素数的大道,必定会越走越辉煌!

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