如果有一天有人这样告诉你：“你可以沿着一段一直向上的台阶（或楼梯）走，最终能回到出发点。”你会怎样回答？单凭直觉和逻辑，你可能马上会说“这绝不可能”。那为什么还会有人如此发问呢？说到这里，我们就不得不提埃舍尔的著名版画作品《上升与下降》，在这幅版画的城堡楼顶上，你会看到内圈的队伍一直在下坡，外圈的队伍却一直在上坡，并形成一个回路，周而复始。你能看出其中的奥秘吗？其实，我们将它抽象画出来，就是彭罗斯阶梯（或台阶）。
part.1 初识彭罗斯阶梯
最早记载的彭罗斯阶梯是瑞典艺术家奥斯卡·路透·瓦德（OscarReutersvärd）在1934年制作的雕塑。后来，英国数学家、物理学家罗杰·彭罗斯（SirRogerPenrose）和他的父亲，精神病学家、遗传学家莱昂内尔·彭罗斯（LionelSharplesPenrose）设计了多种“不可能存在”图形并进行了推广。1958年2月，他们把这个作品发表在《英国心理学杂志》上。自此，后续的学者将其命名为彭罗斯阶梯（PenroseStairs）。据悉，彭罗斯阶梯的创作也受到了荷兰画家埃舍尔（Escher）的一些“不可能存在的画作”的启发。
彭罗斯阶梯是著名的数学悖论之一，指的是一个始终向上或向下但却无限循环的阶梯，可以视为彭罗斯三角形的一个变体，在此阶梯上永远无法找到最高点或者最低点。彭罗斯阶梯违反了欧几里得几何学的基本规则，描绘了一个在三维世界（我们现在生活的世界）中不可能存在的物体，即：如果一段台阶都是连续上升（或者下降）的，那么整段台阶的高度就是大于零的，也就不可能回到原点。直觉和逻辑都告诉我们被骗了，但又是为什么呢？
part.2 彭罗斯阶梯的原理
在地面上绘制的艺术品
在现实生活中，我们经常能看到一些平面上绘制的立体画。在特定的视角观察这些立体画，我们可以感受到一种三维错觉。比如上面这幅画，从我们眼睛的角度看上去好像是三维的，但其实这些画是在一个平面上制作出来的，只不过是在绘画的过程中，通过一些手法对细节进行了处理，从而让我们产生错觉，有了一种立体的感觉。
从正面视角看，地面上绘制的艺术品确实有很强的三维冲击感，但是当我们变换位置，这种三维的感觉就会消失。也就是说，在二维平面上设计的三维图片，在缺少第三维限制的情况下是可以轻易表现出高低不同的细节，从而以假乱真，让我们的眼睛产生错觉。而彭罗斯阶梯也是如此。
前面我们已经说过，彭罗斯阶梯可以被视为彭罗斯三角形的一个变体，彭罗斯三角看起来像是一个物体，由三个截面为正方形的长方体所构成，三个长方体组合成为一个三角形，但两长方体之间的夹角似乎又是直角。上述性质无法在任何一个正常三维空间的物体上实现。尽管彭罗斯三角在三维中不可能存在，但如果从三维空间的特定角度去看，其看到的图案和彭罗斯三角相同。比如在澳大利亚的西部东珀斯，就有一座彭罗斯三角雕塑，这个效果其实是三维物体在特定角度的二维投影，但是人脑还在思考三维的模样，因此就出现了错觉。
尽管彭罗斯阶梯无法在生活中实现，但我们也可以模拟这种效果。找一段足够长的阶梯，然后每一层的阶梯要做得很宽，我们可以把这些阶梯做出一定的坡度，由于距离较远，那些小的坡度就很不容易被人察觉到。每隔一段距离就做一个明显的阶梯，再将这种阶梯做成蜿蜒曲折的样子，然后加上一定的障碍物，就可以在视觉上达到以假乱真的效果了。
part.3 常上荧屏的彭罗斯阶梯
在一些影视作品中，经常出现彭罗斯阶梯的影子，比如《鬼吹灯》里的“悬魂梯”和《盗梦空间》里那个永远走不完的楼梯。在这些情节中，关键人物走入了一圈又一圈的死循环，陷入了难以摆脱的困境。
《盗梦空间》中，埃姆斯（Eames）教筑梦师爱莲（Ariadne）利用彭罗斯阶梯设计高难度的梦境。埃姆斯和爱莲沿着彭罗斯阶梯一直上楼，每一圈都会经过那个整理文件的秘书。但是镜头一转，埃姆斯展示了转换视角后的彭罗斯阶梯：显然中间割裂开来了。
原来，在梦境中加入彭罗斯阶梯，不同的时刻展示彭罗斯阶梯的不同视角，可以让主人公趋利避害。最终，筑梦师爱莲在第二层梦境中设计了彭罗斯楼梯：埃姆斯在梦境中被敌人追赶着下楼后，梦境中设计的视角开始变换，敌人站到割裂开来的楼梯旁边不知所措，然而埃姆斯却从敌人背后出现,将敌人制服并推下梯。
彭罗斯三角形、彭罗斯阶梯等图形又被称为不可能图形，即在现实世界中不可能存在，在平面设计中违背了透视原理。它们是利用人的“视觉误差”而形成的一种光学错觉，只存在于二维世界。这些图形看起来很“理所应当”，但如果你用手指沿着这些图形上任意一面“走”一遍，就能发现根本走不通。
作者|刘刚（中国科学院数学与系统科学研究所）
本文来自《知识就是力量》杂志
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