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栗子
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黎曼惊鸿

图文:栗子

导语:近日,21世纪最伟大的数学家之一阿蒂亚爵士宣称自己证明了黎曼猜想,引爆了数学界甚至整个科学界。先不论该证明是否完备,很多人好奇为什么与黎曼猜想有关的研究总能引发关注。黎曼猜想是什么,在数学和物理学上有什么涵义,证明黎曼猜想有什么重大意义?本期学姐特地邀请北大物理学博士于赫夫童鞋用尽可能通俗易懂的文字为我们讲一讲有关黎曼猜想的精彩故事。

认识这个世界,理解这个世界,与这个世界交谈,这大概是人类永恒的追逐,不朽的浪漫。如果上面的所谓“世界”指的是物质和现实空间,那么我们的追求方式就是物理的;如果“世界”指的是逻辑和抽象空间,那么我们追求的方式就是数学的。这两种视角都无穷尽地迷人;而如果能将这二者统一,或许这个世界最本质的面纱才会第一次被稍稍揭开。

大约一百六十年前,用惊鸿一剑稍稍吹动这面纱的人,是黎曼(Riemann)。

彼时,人们认识数字的方式,已经超越单纯的数字计算,开始将数字本身作为研究对象。“数”的存在不依托于现实世界,是纯抽象的,对它的研究特别有利于人们推进对数学本质的认识。而研究一个东西,人们首先想到的就是找到构成它的基本单元。就像物理学为了找到最小的最不可分的那种物质,从公元前4世纪古希腊德谟克里特提出“原子”,到现在的高能物理实验用“深度非弹性散射”考察原子内部的夸克胶子结构,付出了无数心血。那么“数”这个东西,构成它的不可再分割的基本单元是什么呢?

人们发现,最好用的“数”的单元也许是质数,因为质数不能再被(1以外的)其他数字整除,且所有整数都可以写成质数的加减乘除——质数俨然是数字王国的砖块。但问题在于,这砖太飘忽跳脱,你看,从“2,3,5”,到“29,31,37”,再到“401,409,419”,规律何在——这哪里是砖块,简直是四处冒头的地鼠。数学家们头大如斗,这可不是小麻烦。数学江湖一时间风波大动,为了捕捉质数的规律而惊动了各路高手,欧拉(Euler)、高斯(Gauss)、勒让德(Legendre)等大佬依次上阵,最终祭出大阵“质数定理”,将质数的出现规律堪堪约束在一个范围。而此后又该如何,阵脚牢不牢靠,大佬们仍一筹莫展。正在此时,黎曼遥遥一指,一把飞剑将质数牢牢锁住,质数定理这个大阵就此活了,以质数为基石的数论王国迅速走向繁荣。黎曼一生只对质数出手一次,便定了乾坤。

故事详细讲来是这样的。

在距今大约两百六十年前,欧拉为了解决一些数学问题(巴塞尔问题和证明欧几里得定理)而考察了一种实数函数,此后人们对这个函数的计算也局限在实数范围。事情就此尘封,转眼间数学江湖开始了对质数的围剿,一众高手用各自的方法,将质数的出现规律约束在一个差不多相同大小的范围。由于人们的思路往往是在实数战场解决实数问题,用函数思想抓住函数规律(用一个函数来描述质数出现的规律),因而最终都走到了相似的终点,遇到同样巨大的困难。而黎曼则站在截然不同的高度看待这个问题。他首先超脱实数概念的束缚,尝试使用更宽阔的视角,同时又超越函数的束缚,以“函数的函数”,也就是泛函的思想找寻规律。当他想到尘封中的那个被欧拉考察过的实数函数,黎曼知道自己可以落子了。

那年黎曼32岁,刚刚荣选为德国柏林科学院院士,任职于哥廷根大学作教授,意气风发。这位英俊腼腆的数学天才“春风得意,看尽长安”的方式,是发表了一篇论文《论小于已知数的质数的个数》("On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude")。这篇论文只有八页,堪称小巧,然而里面宏大的思想却震动了那个时代,轰鸣至今。

在论文中,黎曼将欧拉考察过的那个实数函数扩展为复数函数,著名的复数Zeta函数就此出现了

其中s是复数自变量。复数由两部分组成,一部分的平方大于等于零,叫做实部,一部分的平方小于零,叫做虚部。把一个实数函数用“解析延拓”(也就是保持函数的解析性质不变的同时,扩大函数的定义域)的方式扩展为一个复数函数,在当今看来是常规技术,但在一两百年前用这招解决实数问题确有些惊世骇俗。在图象上表示复数,需要一个实数轴表示实部,和一个虚数轴表示虚部,因而可以说复数构成一个平面(也就是复平面),这相比实数构成一条线(实轴)有很大区别和便利,允许人们使用复分析中丰富的武器,对问题进行“降维打击”。黎曼在论文中进一步把Zeta函数写成“其他函数的函数”(也就是泛函),从而厘清了Zeta函数的零点(也就是让函数取值为0时的自变量的值)的分类。零点有两类,一类是与三角函数有关的零点,规则地分布在实轴上,叫做“平凡”零点(平凡的意思就是说,这些零点比较容易全部找到,完全掌握,且对质数分布这个问题的影响没那么深刻);另一类零点就是规律较复杂的,分布在复平面上的零点。至此,黎曼对质数下手了:他(和后人不断地)论证了,人类预言的质数出现规律和真实情况之间的误差,完全掌控在他的Zeta函数零点的手中。尤其让人感兴趣的就是非平凡零点对上面的误差的影响,对于这类零点,人们很容易证明它们分布在复数平面的一个带状区域内。而黎曼就此给出了更精确的预言,也就是著名的黎曼猜想:

“很可能所有非平凡零点都位于实部为1/2的一条线上”。

像他以往的很多论断,黎曼没有给出证明,因而让人遗憾和沉醉。在很多现代数学家看来,黎曼猜想是最难以攻克也最值得人沉迷的数学难题之一。黎曼猜想的巨大价值体现在很多方面,例如在密码学领域,该猜想的准确证明可以颠覆当今的一大类加密方式。而从认识世界的角度去看,黎曼猜想可以作为一个桥梁,神妙地让人们可以用“谱”的视角同时看待物质世界和抽象数学。

我们看一束光,既可以把它看作一大堆连续的电磁波动,也可以提取出这个波动包含哪些频率,从而用光谱去分析它。这样的思想可以推广开来,人们考察很多“连续”的问题,都能将其分解为一系列分立单元。这个思想在数学和物理学中都有着重要地位,例如数学上的傅里叶变换,以及物理上的谱分析。

当人们的研究视角转向更加本质的问题,也就是当数学开始研究数字本身,而物理学开始研究场和空间本身的时候,需要把规律连续的整数分解为跳脱的质数,以及把场和连续的四维时空分解为分立的、量子化的时空的“谱”。黎曼猜想和Zeta函数可以很好地解决质数出现频率的问题,换言之可以很好地将数字分解为一系列“质数的谱”;而人们惊奇地发现,在分解场和连续时空时,黎曼的那把飞剑依然隐隐在我们身边。

在量子场理论,或者说将微观物质的场和能级“分解”为分立的态的时候,算符和希尔伯特空间是必备的工具,精细结构常数是用量子理论分析原子能级的必然产物,而这一切都被人们发现与Zeta函数有着联系。希尔伯特(Hilbert)和波利亚(Polya)曾建议一种证明黎曼猜想的方法,那就是认为Zeta函数的非平凡零点联系着一类算符的本征值,这既是数学证明的常用方法,也这恰好是量子力学寻找本征态和本征值的基本方法。换言之,等价地将Zeta函数与量子态联系起来的思想由来已久。这一思想被后人不断发展,最终发展出引入特定的量子化条件,将Zeta函数的零点的虚部(也就是和实数无关的那部分)量子化的方案,这与量子力学的框架几乎完全重合。

在时空或者说引力量子化方面,Zeta函数同样大显身手。数学家柯纳(Connes)为了证明黎曼猜想,将时空及其上的场用Zeta函数表示出来,之后一发不可收拾,发明了一整套使用Zeta函数将整个物理空间(包括四维时空和物质场的内部自由度空间)用“谱”表示出来的方案。这是一套全新的量子化方案,提供了深刻的理解世界的视角,也让菲尔兹奖获得者柯纳顺手成为了一名理论物理学家。

回顾开头,我们说黎曼提出Zeta函数和黎曼猜想的目的只是为了“抓住”数字的不可再分割的单元,但如今他的工作却兜兜转转,抓到了客观物理量子化的门径。由于黎曼Zeta函数的零点是完全脱离物质世界的抽象概念,因而黎曼Zeta函数与前沿理论物理的结合,哪怕只是美丽的偶然,已经足以让数学逻辑照亮客观物理的深处。而如果黎曼猜想被最终证明,那么众多学者构造的纯数学逻辑和物理规律的联系将被彻底夯实,最终很可能出现一条畅通的路径,让人类可以在寻找这世界的基本单元的问题上,从纯粹的数学逻辑迷宫豁然走入物质的大千世界。因而只要稍稍碰触黎曼猜想的证明,便足以让数学界鼎沸,让物理学工作者或惊或喜或恐惑地颤栗。

就在最近,阿蒂亚(Atiyah)爵士公布了自己成功证明黎曼猜想的消息,他论证的切入点是量子物理的重要成果,精细结构常数。阿蒂亚爵士和柯纳同为菲尔茨奖得主,乃当今数学江湖两大巨擘。整个数理学界都在翘首等待着这项证明细节的公布,仿佛等待远处的狂风吹来,盼能再次御动那大约一百六十年前的飞剑。

黎曼那惊鸿的一剑却仍仿佛无知无觉,静静伫立在数理的莽原上,如一座界碑。而莽原上的拓荒者则攀过它,跋向远方。

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  “啊呜啊呜……知识和美食一样好吃,你要不要也来点?”
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